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《数学》“2011年版课标”把感悟数学思想方法当作数学课程整体目标的一个有机组成部分，关注基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验这些显性和隐性目标的整体实现。这是一种全新的数学教育观，是对我国小学数学重视“双基”的继承和发展。
“用数对确定位置”是小学数学教学中的一个重要内容，其中蕴含着大量的数学思想方法的元素，比如符号化思想、简约化思想、坐标思想等。在教学中，我做了些尝试。
对于“数对”引入，直接告诉学生也未尝不可，但数对产生的背景及必要性却不能为学生所真切感受。这一环节，我创设了一个激趣游戏：让学生用“第几列第几行”的已有方法来快速记录“第1列第2行” “第3列第4行”“ 第2列第1行”“ 第4列第3行”“ 第5列第6行”“ 第6列第3行”六个人的位置。使他们内心催生出“老师报得太快了”“来不及记”的感慨，体验既有方法的繁琐和不便，自然而然想到要对原有描述改进和优化。随后，让学生围绕“怎样能既科学又简单地描述一个人位置”这一问题，给出更多的时间任由学生进行创造。面对黑板上林林总总的学生作品，让其直陈“你最喜欢哪种方法？你最不喜欢哪种方法？”引导争辩，求同存异。在初步筛选后，进行提取和凝练：“这些方法有哪些共同的地方？”（都有两个数，都比“第几列第几行”简单得多）从而催生出数对的雏形。这样的教学活动，使学生获得的就不仅仅是一个由前人经抽象概括而形成的数学知识，同时还能体会到形成这个知识的数学抽象方法，体会数学知识简约、凝练的特质，形成简约化的思想。
在掌握了用数对表示位置的方法后，我让学生做“看数对起立”的游戏：依次出示数对（3、4），（5、1），（2、Y），（X、3），（X、Y）让学生站起来。这个游戏强化本课的难点（先列后行，在数对中第一个数字表示第几列，第二个数字表示第几行）；加入字母的“特殊数对”，带来了一种奇特的“景观”：（2、Y）站起了一行人，（X、3）则站起了一列人，而（X、Y）则全班都站起来。在经历迷惑、顿悟、通透等过程之后，让学生进一步理解数对的本质（任意两个有序的数都可以表示平面上的任意一点）的同时，感受到数学符号的神奇魅力。
在确定了公园各景点在方格图上的位置后，我设计了小明在公园游玩所处位置的问题。
描点：有一天，小明到公园来玩，（出示：小明的位置在（4、3）交点处），你能在方格图上找到这个点吗？
平移：小明向东走了4格，你还能找到他现在的位置吗？教师引导思考：大家观察一下平移前后的两个点，这两个数对有什么联系呢？
想象：如果向东走50格呢？走100格呢？如果他的位置是（3、26），你知道他是怎么走的吗？
在此过程中，先引导学生观察物体平移后数对的变化情况，由形想数；再观察数对的变化让学生想象小明的运动情况，由数想形。这样，进一步密切了数对之间的联系，帮助学生理解由于横向和纵向位置的变化而引起数对中数值的变化，巩固了新知，同时也体现出数形结合的思想，培养学生的空间观念。
坐标几何是新课程增加的内容，“用数对确定位置”是第三学段学习平面直角坐标系的起始。如何使该课内容体现出应有的生活价值，又能在符号体系中恰当生成和渗透相应的数学价值（亦即坐标思想），是我思考得较多的问题。比如，在公园图中，我们研究特殊点（0、0）位置；让学生描述如何找小明在方格图中的点并进而思考“是怎样的线条决定了方格图中点的位置”；课末环节，我设计了“红色方块的位置该怎么表示”的三个递进的情境，将直线上的点、平面上的点及立体图形中的点的位置该如何确定串在一起，让学生在对比中不断丰富“确定位置”的内涵：一维坐标其实是一条线，二维坐标其实是一个面，三维坐标其实是一个立体。
一般来说，小学数学思想方法主要是渗透，个中之意为：一是数学思想方法要以数学知识为载体，通过数学知识加以“显化”，通过数学概念的形成和建立过程、数学规律的归纳和总结过程、数学问题的分析和解决过程来实现；二是强调对数学思想方法的体验和领悟，也就是要通过潜移默化的手段使数学思想方法“随风潜入夜，润物细无声”，逐步生长为学生的一种意识、观念和素质，成为一种“带得走的东西”，并在今后的学习、工作、生活中随时发挥作用，使他们终身受益；三是要注意渗透行为的阶段性和长期性特点，因为不同的数学思想方法可能隐含于同一个知识点之中，同一个数学思想方法也可以在不同的知识点中发挥作用。因此，学生理解和形成数学思想方法需要一个长期的、层次化的过程，在这个过程中逐步丰富认识、积累经验、加深感悟。 (作者单位：江苏省南京师范大学附属小学）
如何加强数学思想方法的渗透
数学在本质上就是在不断的抽象、概括、模式化的过程中发展和丰富起来的。数学学习只有深入到“模型”“建模”的意义上，才是一种真正的数学学习。这种“深入”，就小学数学教学而言，具有鲜明的阶段性、初始性特点，它更多地是指用数学建模的思想和精神来指导着数学教学，“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与运用的过程，进而使学生获得对数学的理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”在此基础上，初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
教学片段
出示情境图。
师：谁来说一说第一幅图，你看到了什么？
生：从图中我看到了有5个小朋友在浇花。
师：第二幅图呢？
生：第二幅图中有2个小朋友去提水了，剩下3个小朋友。
师：你能把两幅图的意思连起来说吗？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩下3个。
师：同学们观察得很仔细，也说得很好。你们能根据这两幅图的意思提一个数学问题吗？
生：有5个小朋友在浇花，走了2个，还剩几个？
生（齐）：3个。
师：对，大家能不能用圆片代替小朋友，将这一过程摆一摆呢？
（教师在行间指导学生摆圆片，并请一生将圆片摆在情境图的下面。）
师：（结合情境图和圆片说明）5个小朋友在浇花，走了2个，还剩3个；从5个圆片中拿走2个，还剩3个，都可以用同一个算式（学生齐接话：5-2=3）来表示。（在圆片下板书：5-2=3）
生齐读：5减2等于3。
师：谁来说一说这里的5表示什么？2、3又表示什么呢？
……
师：同学们说得真好！在生活中存在着许许多多这样的数学问题，5-2=3还可以表示什么呢？请同桌互相说一说。
生1：有5瓶牛奶，喝掉2瓶，还剩3瓶。
生2：树上有5只小鸟，飞走2只，还剩3只。
……
除了教学充分展开外，更主要的是渗透了初步的数学建模思想，训练的是学生抽象、概括、举一反三的学习能力。且这种训练并不是简单、生硬地进行，而是和低年级学生数学学习的特点相贴切——由具体、形象的实例开始，借助于操作予以内化和强化，最后通过思维发散和联想加以扩展和推广，赋予“5-2=3”以更多的“模型”意义。
再比如，在小学阶段，学生认识小数时主要是将它和分数之间进行意义上的关联，即：一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……。按照螺旋上升的教材编排原则，上述内容大多分解在三、四年级分两次学完，三年级先认识一位小数。如何在三年级初步认识一位小数时就体现出“建模”的思想呢，我进行了如下教学：
课始，教师出示到超市购买的一些物品和相应的价钱：水彩笔12元、美工刀3元5角、铅笔0.4元。当“0.4元”出现后，教师提问：
师：知道“0.4元”到底是多少钱吗？
生：0.4元就是4角钱。
（板书4角=0.4元）
师：4角钱有没有1元多？
生：没有。
师：看来，和1元相比，0.4元只能算是一个“零头”了。如果我们用这样的一个长方形来表示1元（出示图1），你能把它分一分、涂一涂，将0.4元表示出来吗？
图1 图2
（学生拿出练习纸画画涂涂，把自己的想法表示出来。交流时，寻找共性特点：平均分成10份，涂出其中的4份）
师：为什么这样就将“0.4元”表示出来了呢？
生：因为1元等于10角，平均分成10份，1份就是1角，4份就是4角。
师：看着大家画出的图示，让我想起以前咱们学什么时，也是这样子平均分一分、涂一涂？
生：分数！
师：那0.4元如果用分数表示，如何表示呢？
生：十分之四元。
师：数学真是有趣，原来0.4元也就是我们熟悉的十分之四元。
（出示图2）
师：老师购买了一块橡皮，它的价钱是多少呢？（出示：0.8元）0.8元是多少钱？
生：0.8元就是8角
师：又是一个不足1元的零头，如果我们还是用这样的一个长方形来表示1元，那0.8元又该怎么表示呢？
学生模仿者刚才的方式表示出“0.8元也就是十分之八元”（见右图）。接着，老师给学生提供一个空白的平均分成10份的长方形，任意涂出其中一部分，表示出一个小数和相应的分数。几个学生自由展示后，组织梳理，从0.1就是十分之一，0.2就是十分之二……
师：接下来我们再来看看笔记本的价格，我给你一个图示（见下图），你知道它的价钱了吗？
生：笔记本的价格是1.2
师：刚才的小数都是“零点几”，现在怎么变成“一点几”了？
生：现在有两个长方形了，第一个涂满了颜色，表示整1元。第二个平均分成了10份，涂了其中的2份，也就是2角钱，0.2元，合起来就是1.2元了。
师：我买的钢笔的价钱是8.6元，如果让你画一幅图来表示它的价钱，你准备怎样画呢？
生：我准备先画9个大小一样的长方形，然后把前面8个涂满颜色，第9个长方形平均分成10份，涂出其中的6份。
……
上述教学过程抓住了知识间的联系（小数和十进分数的关系）而展开，但又不是停留在教师直接的讲解和“告诉”，而是让学生充分展开探索过程，借助于直观图示的形象支撑，建立起了一位小数的“直观模型”（长方形等分、涂色）。这种形象的“直观模型”既搭起了小数和分数之间的桥梁，也具有强大的“扩展”功能，对后面学习两位小数、三位小数（同样的长方形，只是平均分成100份、1000份）以及抽象概括“小数的意义”具有统摄作用。
从上述两例可以看出，运用建模思想来指导小学数学教学，在很大程度上是要在学生的认知过程中建立起一种统摄性、符号化的具有数学结构特征的“模型”载体，通过这样的具有“模型”功能的载体，帮助学生实现数学抽象，为后续学习提供强有力的基础支持。当然，对学生“模型”意识的培养和“建模”方法的指导，要根据具体内容和具体年级而有层次不同的要求，低年级要恰到好处地结合日常实例和常规教学对学生进行“模型”及“模型意识”的渗透、点化，高年级则可以更明确地引导学生关注数学学习中“模型”的存在，培养初步的建模能力。
数学思想是指：现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与理论，经过精确地概括后产生的本质认识。数学具有很强的抽象性，数学思想是数学的精髓，可以锻炼学生的逻辑思维能力，培养学生的创新能力。随着我国教育事业的发展，数学教学任务发生了很大的变化，传统单纯的传授基础知识和基本技能的教学任务，已经被提高学生的综合能力，促进学生的全面发展所代替。因此，在数学教学中渗透数学思想方法，发掘学生的潜能，培养学生的思维品质和创新能力，成为数学教学的重要任务之一。
一、数学教学中需渗透的数学思想方法
1.假设思想方法。假设是利用题目中的已知条件，假设出题目中隐含的信息，然后根据已知条件推算、数量矛盾，得出正确答案的一种思想方法。例如，典型的鸡兔同笼问题就可以用假设的思想方法解决。
2.数形结合思想方法。数学研究的两个主要对象是数字和图形，由于“数无形，少直观，形无数，难入微”，所以可以利用数形结合的思想方法，化繁为简，化难为易。一方面，图形可以让抽象的数学概念更加形象、直观、简单；另一方面，借助数量关系表示图形，可以以简化繁。
3.符号化思想方法。所谓符号思想就是利用符号化的语言，像图形、数字、字母以及特定的符号等，来代表数学内容，利用量之间的关系进行演绎和推算，可以简化思考过程，加快学生的思考速度，例如，小学数学中的6+（ ）=10。
4.比较思想方法。这种方法在数学教学中被经常用到，它通过比较两者之间的异同，培养学生的分辨能力，提高学生的思维能力。例如，小学数学中，比较数字的大小、图形的大小等。
5.转化思想方法。把陌生的、复杂的、未知的通过归纳演绎转化为熟悉的、简单的、已知的问题，可以有效的解决新问题。例如，几何图形中的等体积变化问题。
6.类比思想方法，通过比较两类或两个不同的数学对象，利用两者之间的类似或相同之处，推断出两者在其他方面可能出现的类似或相同之处。
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